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漫话西游

——《西游记》品评主题沙龙

 
 
 

日志

 
 

[引用]量子史话:第十章 不等式  

2010-07-04 21:46:54|  分类: 科学之光 |  标签: |举报 |字号 订阅

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第十章 不等式


在多世界奇境中的这趟旅行可能会让大家困惑不解,但就像爱丽丝在镜中读到的那首晦涩的长诗Jabberwocky,它无疑应该给人留下深刻的印象。的确,想象我们自身随着时间的流逝不停地分裂成多个世界里的投影,而这些分身以几何数目增长,以至无穷。这样一幅奇妙的景象实在给这个我们生活其中的宇宙增添了几分哭笑不得的意味。也许有人会觉得,这样一个模型,实在看不出有比“意识”更加可爱的地方,埃弗莱特,还有那些拥护多世界的科学家们,究竟看中了它哪一点呢?


不过MWI的好处也是显而易见的,它最大的丰功伟绩就是把“观测者”这个碍手碍脚的东西从物理中一脚踢开。现在整个宇宙只是严格地按照波函数演化,不必再低声下气地去求助于“观测者”,或者“智能生物”的选择了。物理学家现在也不必再为那个奇迹般的“坍缩”大伤脑筋,无奈地在漂亮的理论框架上贴上丑陋的补丁,用以解释R过程的机理。我们可怜的薛定谔猫也终于摆脱了那又死又活的煎熬,而改为自得其乐地生活(一死一活)在两个不同的世界中。


重要的是,大自然又可以自己做主了,它不必在“观测者”的阴影下战战兢兢地苟延残喘,直到某个拥有“意识”的主人赏了一次“观测”才得以变成现实,不然就只好在概率波叠加中埋没一生。在MWI里,宇宙本身重新成为唯一的主宰,任何观测者都是它的一部分,随着它的演化被分裂、投影到各种世界中去。宇宙的分裂只取决于环境的引入和不可逆的放大过程,这样一幅客观的景象还是符合大部分科学家的传统口味的,至少不会像哥本哈根派那样让人抓狂,以致寝食难安。


MWI的一个副产品是,它重新回到了经典理论的决定论中去。因为就薛定谔方程本身来说,它是决定性的,也就是说,给定了某个时刻t的状态,我们就可以从正反两个方向推演,得出系统在任意时刻的状态。从这个意义上来说,时间的“流逝”不过是种错觉!另外,既然不存在“坍缩”或者R过程,只有确定的U过程,“随机性”便不再因人而异地胡搅蛮缠。从这个意义上说,上帝又不掷骰子了,他老人家站在一个高高在上的角度,鸟瞰整个宇宙的波函数,则一切仍然尽在把握:宇宙整体上还是严格地按照确定的薛定谔方程演化。电子也不必投掷骰子,做出随机的选择来穿过一条缝:它同时在两个世界中各穿过了一条缝而已。只不过,对于我们这些凡夫俗子,芸芸众生来说,因为我们纠缠在红尘之中,与生俱来的限制迷乱了我们的眼睛,让我们只看得见某一个世界的影子。而在这个投影中,现实是随机的,跳跃的,让人惊奇的。


(* 这里顺便澄清一下词语方面的问题,对于MWI,一般人们喜欢把多个分支称为“世界”(World),把它们的总和称为“宇宙”(Universe),这样一来宇宙只有一个,它按照薛定谔方程发展,而“世界”有许多,随着时间不停地分裂。但也有人喜欢把各个分支都称为“宇宙”,把它们的总和称为“多宙”(Multiverse),比如著名的多宇宙派物理学家D*id Deutsch。这只是一个叫法的问题,多世界还是多宇宙,它们指的是一个意思。)


然而,虽然MWI也算可以自圆其说,但无论如何,现实中存在着许多个宇宙,这在一般人听起来也实在太古怪了。哪怕是出于哲学上的雅致理由(特别是奥卡姆剃刀),人们也觉得应当对MWI采取小心的态度:这种为了小小电子动辄把整个宇宙拉下水的做法不大值得欣赏。但在宇宙学家中,MWI却是很流行和广受欢迎的观点。特别是它不要求“观测者”的特殊地位,而把宇宙的历史和进化归结到它本身上去,这使得饱受哥本哈根解释,还有参予性模型诅咒之苦的宇宙学家们感到异常窝心。大致来说,搞量子引力(比如超弦)和搞宇宙论等专业的物理学家比较青睐MWI,而如果把范围扩大到一般的“科学家”中去,则认为其怪异不可接受的比例就大大增加。在多世界的支持者中,有我们熟悉的费因曼、温伯格、霍金,有人把夸克模型的建立者,1969年诺贝尔物理奖得主盖尔曼(Murray Gell-Mann)也计入其中,不过作为量子论“一致历史”(consistent history)解释的创建人之一,我们还是把他留到史话相应的章节中去讲,虽然这种解释实际上可以看作MWI的加强版。


对MWI表示直接反对的,著名的有贝尔、斯特恩(Stein)、肯特(Kent)、彭罗斯等。其中有些人比如彭罗斯也是搞引力的,可以算是非常独特了。


但是,对于我们史话的读者们来说,也许大家并不用理会宇宙学家或者其他科学家的哲学口味有何不同,重要的是,现在我们手上有一个哥本哈根解释,有一个多宇宙解释,我们如何才能知道,究竟应该相信哪一个呢?各人在生活中的审美观点不同是很正常的,比如你喜欢贝多芬而我喜欢莫扎特,你中意李白我沉迷杜甫,都没有什么好大惊小怪,但科学,尤其是自然科学就不同了。科学之所以伟大,不正是因为它可以不受到主观意志的影响,成为宇宙独一无二的法则吗?经济学家们或者为了各种不同的模型而争得你死我活,但物理学的终极目标不是经世致用,而是去探索大自然那深深隐藏着的奥秘。它必须以最严苛的态度去对待各种假设,把那些不合格的挑剔出来从自身体系中清除出去,以永远保持它那不朽的活力。科学的历史应该是一个不断检讨自己,不断以实践为唯一准绳,不断向那个柏拉图式的理想攀登的过程。为了这一点,它就必须提供一个甄别的机制,把那些虽然看上去很美,但确实不符合事实的理论踢走,这也就成为它和哲学,或者宗教所不同的重要标志。


也许我们可以接受那位著名而又饱受争议的科学哲学家,卡尔•波普尔(Karl Popper)的意见,把科学和形而上学的分界线画在“可证伪性”这里。也就是说,一个科学的论断必须是可能被证明错误的。比如我说:“世界上不存在白色的乌鸦。”这就是一个符合“科学方法”的论断,因为只要你真的找到一只白色的乌鸦,就可以证明我的错误,从而推翻我这个理论。但是,如前面我们举过的那个例子,假如我声称“我的车库里有一条看不见的飞龙。”,这就不是一个科学的论断,因为你无论如何也不能证明我是错的。要是我们把这些不能证明错误的论断都接受为科学,那“科学”里滑稽的事情可就多了:除了飞龙以外,还会有三个头的狗、八条腿的驴,讲中文的猴子……无奇不有了。无论如何,你无法证明“不存在”三个头的狗,是吧?


如果赫兹在1887年的实验中没有发现电磁波引发的火花,那么麦克斯韦理论就被证伪了。如果爱丁顿在1919年日食中没有发现那些恒星的位移,那么爱因斯坦的相对论就被证伪了(虽然这个实验在今天看来不是全无问题)。如果吴健雄等人在1956-1957年的那次实验中没有找到他们所预计的效应,那么杨和李的弱作用下宇称不守恒设想就被证伪了。不管是当时还是以后,你都可以设计一些实验,假如它的结果是某某,就可以证明理论是不正确的,这就是科学的可证伪性。当然,有一些概念真的被证伪了,比如地平说、燃素、光以太,但不管如何,我们至少可以说它们所采取的表达方式是符合“科学”方法的。


另外一些,比如“上帝”,那可就难说了,没有什么实验可能证明上帝“不存在”(不是一定要证明不存在,而是连这种可能都没有)。所以我们最好还是把它踢出科学领域,留给宗教爱好者们去思考。


回到史话中来,为了使我们的两种解释符合波普尔的原则,我们能不能设计一种实验,来鉴定究竟哪一种是可信,哪一种是虚假的呢?哥本哈根解释说观测者使得波函数坍缩,MWI说宇宙分裂,可是,对于现实中的我们来说,这没有可观测的区别啊!不管怎么样,事实一定是电子“看似”随机地按照波函数概率出现在屏幕的某处,不是吗?就算观测100万次,我们也没法区分哥本哈根和多世界究竟哪个不对啊!


自70年代以来由泽(Dieter Zeh)、苏雷克(Wojciech H Zurek)、盖尔曼等人提出、发展、并走红至今的退相干理论(decoherence)对于埃弗莱特的多宇宙解释似乎有巨大的帮助。我们在前面已经略微讨论过了,这个理论解释了物体如何由微观下的叠加态过渡到宏观的确定态:它主要牵涉到类如探测器或者猫一类物体的宏观性,也即比起电子来说多得多的自由度的数量,以及它们和环境的相互作用。这个理论在MWI里可谓如鱼得水,它解释了为何世界没有在大尺度下显示叠加性,解释了世界如何“分裂”,这些都是MWI以前所无法解释的。笼统地说,当仪器观测系统时,它同时还与环境发生了纠缠,结果导致仪器的叠加态迅速退化成经典的关联。我们这样讲是非常粗略的,事实上可以从数学上证明这一点。假如我们采用系统所谓的“密度矩阵”(Desity Matrix)来表示的话,那么这个矩阵对角线上的元素代表了经典的概率态,其他地方则代表了这些态之间的相干关联。我们会看到,当退相干产生时,仪器或者猫的密度矩阵迅速对角化,从而使得量子叠加性质一去不复返(参见附图)。这个过程极快,我们根本就无法察觉到。


不过,尽管退相干理论是MWI的一个有力补充,它却不能说明MWI就是唯一的解释。退相干可以解答为什么在一个充满了量子叠加和不确定的宇宙中,我们在日常大尺度下看世界仍然似乎是经典和“客观”的,但它不能解答波函数到底是一直正常发展下去,还是会时不时地跃迁。事实上,我们也可以把退相干用在哥本哈根解释里,用来确定“观测者”和“非观测者”之间的界限——按照它们各自的size,或者自由度的数量!那些容易产生退相干的或许便更有资格作为观测者出现,所谓的观测或许也不过是种不可逆的放大过程。可是归根到底,我们还是不能确定到底是哥本哈根,还是多宇宙!


波普尔晚年的时候(他1994年去世),我想他的心情会比较复杂。一方面他当年的一些论断是对的,比如量子力学本身的确没有排除决定论的因素(也没有排除非决定论)。关于互补原理,当年他在哥本哈根几乎被玻尔所彻底说服,不过现在他还是可以重新考虑一下别的alternatives。另一方面,我们也会很有兴趣知道波普尔对于量子论领域各种解释并立,几乎无法用实践分辨开来的现状发表会什么看法。


但我们还是来描述一些有趣的“强烈支持”MWI的实验,其中包括那个疯狂的“量子自杀”,还有目前炙手可热,号称“利用多个平行世界一起工作”的量子计算机。


*********


饭后闲话:证伪和证实


关于“科学”的界定,证实和证伪两派一直吵个不休,这个题目太大,我们没有兴趣参予,这里只是随便聊两句证实和证伪的问题。


怎样表述一个命题才算是科学的?按照证伪派,它必须有可能被证明是错误的。比如“所有的乌鸦都是黑的”,那么你只要找到一只不是黑色的乌鸦,就可以证明这个命题的错误,因此这个命题没有问题。相反,如果非要“证实”才接受这个论断的话,那可就困难了,而且实际上是不可能的!除非你把所有的乌鸦都抓来看过,但你又怎么能知道你已经抓尽了天下所有的乌鸦呢?


对于科学理论来说,“证实”几乎也是不可能的。比如我们说“宇宙的规律是F=ma”,这里说的是一种普遍性,而你如何去证实它呢?除非你观察遍了自古至今,宇宙每一个角落的现象,发现无一例外,你才可以“证实”这一点。即使这样,你也无法保证在将来,这条规律仍然起着作用。事实上,几乎没有什么科学理论是可以被“证实”的,只要它能够被证明为“错”但还未被证明“错”(按照波普尔,以一种积极面对证伪的态度),我们就暂时接受它为可靠的理论。自休谟以来人们已经承认,单靠有限的个例(哪怕再多)也不能构成证实的基础。


不过,按照洛克之类经验主义者的说法,我们全部知识的基础都来自于我们的经验,而科学的建立,也就是在经验上的一种归纳主义。好比说,我们每天都看到太阳从东边升起,几千年来日日如此,那么我们应该可以“合理地”从中归纳出一条规律:太阳每天都从东方升起。并用它来预测明天太阳依旧要从东方升起。假如堕入休谟的不可知论,那么我们就根本谈不上任何“知识”了,因为反正明天的一切都是不确定的。


按照归纳主义,我们从过去的现象中归纳出一种规律,而当这个现象一再重复,则它每次都又成为对这个规律的再一次“证实”。比如每次太阳又升起来的时候,“太阳每天从东方升起”这个命题的确定性就被再次稍稍证实。我们每看到一只黑乌鸦,则“乌鸦都是黑的”这个命题的正确性就再次稍稍上升,直到我们遇到一只不黑的乌鸦为止。


我们大多数人也许都是这样以为的,但这种经验主义又会导出非常有趣的结果。我们来做这样一个推理,大家都知道,一个命题的逆否命题和它本身是等价的。比如“乌鸦都是黑的”,可以改为等价的命题“凡不黑的都不是乌鸦”。现在假如我们遇见一只白猫,这个现象无疑证实了“凡不黑的都不是乌鸦”(白猫不黑,白猫也不是乌鸦)的说法,所以同样,它也再次稍稍证实了“乌鸦都是黑的”这个原命题。


总而言之,“遇见一只白猫”略微增加了“乌鸦都是黑的”的可能性。有趣吧?


这个悖论由著名的德国逻辑实证论者亨普尔(Carl G Hempel)提出,他年轻时也曾跟着希尔伯特学过数学。如果你接受这个论断,那么下次导师叫你去野外考察证明例如“昆虫都是六只脚”之类的命题,你大可不必出外风吹雨淋。只要坐在家里观察大量“没有六只脚的都不是昆虫”的事例(比如桌子、椅子、台灯、你自己……),你可以和在野外实际观察昆虫对这个命题做出同样多的贡献!


我们对于认识理论的了解实在还是非常肤浅的。


 

令人毛骨悚然和啼笑皆非的“量子自杀”实验在80年代末由Hans Mor*ec,Bruno Marchal等人提出,而又在1998年为宇宙学家Max Tegmark在那篇广为人知的宣传MWI的论文中所发展和重提。这实际上也是薛定谔猫的一个真人版。大家知道在猫实验里,如果原子衰变,猫就被毒死,反之则存活。对此,哥本哈根派的解释是:在我们没有观测它之前,猫是“又死又活”的,而观测后猫的波函数发生坍缩,猫要么死要么活。MWI则声称:每次实验必定同时产生一只活猫和一只死猫,只不过它们存在于两个平行的世界中。


两者有何实质不同呢?其关键就在于,哥本哈根派认为猫始终只有一只,它开始处在叠加态,坍缩后有50%的可能死,50%的可能活。而多宇宙认为猫并未叠加,而是“分裂”成了两只,一死一活,必定有一只活猫!


现在假如有一位勇于为科学献身的仁人义士,他自告奋勇地去代替那只倒霉的猫。出于人道主义,为了让他少受痛苦,我们把毒气瓶改为一把枪。如果原子衰变(或者利用别的量子机制,比如光子通过了半镀银),则枪就“砰”地一响送我们这位朋友上路。反之,枪就只发出“咔”地一声空响。


现在关键问题来了,当一个光子到达半镀镜的时候,根据哥本哈根派,你有一半可能听到“咔”一声然后安然无恙,另一半就不太美妙,你听到“砰”一声然后什么都不知道了。而根据多宇宙,必定有一个你听到“咔”,另一个你在另一个世界里听到“砰”。但问题是,听到“砰”的那位随即就死掉了,什么感觉都没有了,这个世界对“你”来说就已经没有意义了。对你来说,唯一有意义的世界就是你活着的那个世界。


所以,从人择原理(我们在前面已经讨论过人择原理)的角度上来讲,对你唯一有意义的“存在”就是那些你活着的世界。你永远只会听到“咔”而继续活着!因为多宇宙和哥本哈根不同,永远都会有一个你活在某个世界!


让我们每隔一秒钟发射一个光子到半镀镜来触动机关。此时哥本哈根预言,就算你运气非常之好,你也最多听到好几声“咔”然后最终死掉。但多宇宙的预言是:永远都会有一个“你”活着,而他的那个世界对“你”来说是唯一有意义的存在。只要你坐在枪口面前,那么从你本人的角度来看,你永远只会听到每隔一秒响一次的“咔”声,你永远不死(虽然在别的数目惊人的世界中,你已经尸横遍野,但那些世界对你没有意义)!


但只要你从枪口移开,你就又会听到“砰”声了,因为这些世界重新对你恢复了意义,你能够活着见证它们。总而言之,多宇宙的预言是:只要你在枪口前,(对你来说)它就绝对不会发射,一旦你移开,它就又开始随机地“砰”。


所以,对这位测试者他自己来说,假如他一直听到“咔”而好端端地活着,他就可以在很大程度上确信,多宇宙解释是正确的。假如他死掉了,那么哥本哈根解释就是正确的。不过这对他来说也已经没有意义了,人都死掉了。


各位也许对这里的人择原理大感困惑。无论如何,枪一直“咔”是一个极小极小的概率不是吗(如果n次,则概率就是1/2^n)?怎么能说对你而言枪“必定”会这样行动呢?但问题在于,“对你而言”的前提是,“你”必须存在!


让我们这样来举例:假如你是男性,你必定会发现这样一个“有趣”的事实:你爸爸有儿子、你爷爷有儿子、你曾祖父有儿子……一直上溯到任意n代祖先,不管历史上冰川严寒、洪水猛兽、兵荒马乱、饥饿贫瘠,他们不但都能存活,而且子嗣不断,始终有儿子,这可是一个非常小的概率(如果你是女性,可以往娘家那条路上推)。但假如你因此感慨说,你的存在是一个百年不遇的“奇迹”,就非常可笑了。很明显,你能够感慨的前提条件是你的存在本身!事实上,如果“客观”地讲,一个家族n代都有儿子的概率极小,但对你我来说,却是“必须”的,概率为100%的!同理,有人感慨宇宙的精巧,其产生的概率是如此低,但按照人择原理,宇宙必须如此!在量子自杀中,只要你始终存在,那么对你来说枪就必须100%地不发射!


但很可惜的是:就算你发现了多宇宙解释是正确的,这也只是对你自己一个人而言的知识。就我们这些旁观者而言事实永远都是一样的:你在若干次“咔”后被一枪打死。我们能够做的,也就是围绕在你的尸体旁边争论,到底是按照哥本哈根,你已经永远地从宇宙中消失了,还是按照MWI,你仍然在某个世界中活得逍遥自在。我们这些“外人”被投影到你活着的那个世界,这个概率极低,几乎可以不被考虑,但对你“本人”来说,你存在于那个世界却是100%必须的!而且,因为各个世界之间无法互相干涉,所以你永远也不能从那个世界来到我们这里,告诉我们多宇宙论是正确的!


其实,Tegmark等人根本不必去费心设计什么“量子自杀”实验,按照他们的思路,要是多宇宙解释是正确的,那么对于某人来说,他无论如何试图去自杀都不会死!要是他拿刀抹脖子,那么因为组成刀的是一群符合薛定谔波动方程的粒子,所以总有一个非常非常小,但确实不为0的可能性,这些粒子在那一刹那都发生了量子隧道效应,以某种方式丝毫无损地穿透了该人的脖子,从而保持该人不死!当然这个概率极小极小,但按照MWI,一切可能发生的都实际发生了,所以这个现象总会发生在某个世界!在“客观”上讲,此人在…99%的世界中都命丧黄泉,但从他的“主观视角”来说,他却一直活着!不管换什么方式都一样,跳楼也好,卧轨也好,上吊也好,总存在那么一些世界,让他还活着。从该人自身的视角来看,他怎么死都死不掉!


这就是从量子自杀思想实验推出的怪论,美其名曰“量子永生”(quantum immortality)。只要从主观视角来看,不但一个人永远无法完成自杀,事实上他一旦开始存在,就永远不会消失!总存在着一些量子效应,使得一个人不会衰老,而按照MWI,这些非常低的概率总是对应于某个实际的世界!如果多宇宙理论是正确的,那么我们得到的推论是:一旦一个“意识”开始存在,从它自身的角度来看,它就必定永生!(天哪,我们怎么又扯到了“意识”!)


这是最强版本的人择原理,也称为“最终人择原理”。


可以想象,Tegmark等多宇宙论的支持者见到自己的提议被演绎成了这么一个奇谈怪论后,是怎样的一种哭笑不得的心态。这位宾夕法尼亚大学的宇宙学家不得不出来声明,说“永生”并非MWI的正统推论。他说一个人在“死前”,还经历了某种非量子化的过程,使得所谓的意识并不能连续过渡保持永存。可惜也不太有人相信他的辩护。


关于这个问题,科学家们和哲学家们无疑都会感到兴趣。支持MWI的人也会批评说,大量宇宙样本中的“人”的死去不能被简单地忽略,因为对于“意识”我们还是几乎一无所知的,它是如何“连续存在”的,根本就没有经过考察。一些偏颇的意见会认为,假如说“意识”必定会在某些宇宙分支中连续地存在,那么我们应该断定它不但始终存在,而且永远“连续”,也就是说,我们不该有“失去意识”的时候(例如睡觉或者昏迷)。不过,也许的确存在一些世界,在那里我们永不睡觉,谁又知道呢?再说,暂时沉睡然后又苏醒,这对于“意识”来说好像不能算作“无意义”的。而更为重要的,也许还是如何定义在多世界中的“你”究竟是个什么东西的问题。总之,这里面逻辑怪圈层出不穷,而且几乎没有什么可以为实践所检验的东西,都是空对空。我想,波普尔对此不会感到满意的!


关于自杀实验本身,我想也不太有人会仅仅为了检验哥本哈根和MWI而实际上真的去尝试!因为不管怎么样,实验的结果也只有你自己一个人知道而已,你无法把它告诉广大人民群众。而且要是哥本哈根解释不幸地是正确的,那你也就呜乎哀哉了。虽说“朝闻道,夕死可矣”,但一般来说,闻了道,最好还是利用它做些什么来得更有意义。而且,就算你在枪口前真的不死,你也无法确实地判定,这是因为多世界预言的结果,还是只不过仅仅因为你的运气非常非常非常好。你最多能说:“我有9..99%的把握宣称,多世界是正确的。”如此而已。


根据Shikhovtsev最新的传记,埃弗莱特本人也在某种程度上相信他的“意识”会沿着某些不通向死亡的宇宙分支而一直延续下去(当然他不知道自杀实验)。但具有悲剧和讽刺意味的是,他一家子都那么相信平行宇宙,以致他的女儿丽兹(Liz)在自杀前留下的遗书中说,她去往“另一个平行世界”和他相会了(当然,她并非为了检验这个理论而自杀)。或许埃弗莱特一家真的在某个世界里相会也未可知,但至少在我们现在所在的这个世界(以及绝大多数其他世界)里,我们看到人死不能复生了。所以,至少考虑在绝大多数世界中家人和朋友们的感情,我强烈建议各位读者不要在科学热情的驱使下做此尝试。


我们在多世界理论这条路上走得也够久了,和前面在哥本哈根派那里一样,我们的探索越到后来就越显得古怪离奇,道路崎岖不平,杂草丛生,让我们筋疲力尽,而且最后居然还会又碰到“意识”,“永生”之类形而上的东西(真是见鬼)!我们还是知难而退,回到原来的分岔路口,再看看还有没有别的不同选择。不过我们在离开这条道路前,还有一样东西值得一提,那就是所谓的“量子计算机”。1977年,埃弗莱特接受惠勒和德威特等人的邀请去德克萨斯大学演讲,午饭的时候,德威特特意安排惠勒的一位学生坐在埃弗莱特身边,后者向他请教了关于希尔伯特空间的问题。这个学生就是大卫•德义奇(D*id Deutsch)。



计算机的发明是20世纪最为重要的事件之一,这个新生事物的出现从根本上改变了人类的社会,使得我们的能力突破极限,达到了一个难以想象的地步。今天,计算机已经渗入了我们生活的每一个角落,离开它我们简直寸步难行。别的不说,各位正在阅读的本史话,便是用本人的膝上型计算机输入与编辑的,虽然拿一台现代的PC仅仅做文字处理简直是杀鸡用牛刀,或者拿伊恩•斯图尔特的话说,“就像开着罗尔斯•罗伊斯送牛奶”,但感谢时代的进步,这种奢侈品毕竟已经进入了千家万户。而且在如今这个信息商业社会,它的更新换代是如此之快,以致人们每隔两三年就要不断地开始为自己“老旧”电脑的升级而操心,不无心痛地向资本家们掏出那些好不容易积攒下来的银子。


回头看计算机的发展历史,人们往往会慨叹科技的发展一日千里,沧海桑田。通常我们把宾夕法尼亚大学1946年的那台ENIAC看成世界上的第一台电子计算机,不过当然,随着各人对“计算机”这个概念的定义不同,人们也经常提到德国人Konrad Zuse在1941年建造的Z3,伊阿华州立大学在二战时建造的ABC(Atanasoff-Berry Computer),或者图灵小组为了破解德国密码而建造的Collosus。不管怎么样,这些都是笨重的大家伙,体积可以装满整个房间,有的塞满了难看的电子管,有的拖着长长的电线,输入输出都靠打孔的纸或者磁带,和现代轻便精致的家庭电脑比起来,就好像美女与野兽的区别。但是,如果我们把看起来极为不同的这两位从数学上理想化,美女和野兽在本质上却是一样的!不管是庞大的早期计算机,还是我们现在使用的PC,它们其实都可以简化成这样一种机器:它每次读入一个输入,并且视自己当时内态的不同,按照事先编好的一个规则表做出相应的操作:这操作可以是写入输出,或者是改变内态,或者干脆什么都不做乃至停机。这里的关键是,我们机器的输入和输出可以是无限多的,但它的内态和规则表却必须是有限的。这个模型其实也就是一切“计算机”的原型,由现代计算机的奠基人之一阿兰•图灵(Alan Turing)提出,也称作“图灵机”(The Turing Machine)。在图灵的原始论文中,它被描述成某种匣子样的东西,有一根无限长的纸带贯穿其中,一端是作为输入,另一端则是输出。磁带上记录了信息,一般来说是0和1的序列。这台机器按照需要移动磁带,从一端读入数据,并且按照编好的规则表进行操作,最后在另一端输出运算结果。


我们如今所使用的电脑,不管看上去有多精巧复杂,本质上也就是一种图灵机。它读入数据流,按照特定的算法来处理它,并在另一头输出结果。从这个意义上来讲,奔腾4和286的区别只不过是前者更快更有效率而已,但它们同样做为图灵机来说,所能做到的事情其实是一样多的!我的意思是,假如给予286以足够的时间和输出空间(可以记录暂时的储存数据),奔腾机所能做到的它同样可以做到。286已经太高级了,即使退化成图灵机最原始的形式,也就是只能向左或向右移动磁带并做出相应行动的那台机器,它们所能解决的事情也是同样多的,只不过是快慢和效率的问题罢了。


计算机所处理的信息在最基本的层面上是2进制码,换句话说,是0和1的序列流。对计算机稍稍熟悉的朋友们都知道,我们把每一“位”信息称作一个“比特”(bit,其实是binary digit的缩写),例如信息1010,就包含了4个bits。8个bits就等于1个byte,1024个bytes就是1K,1024K=1M,1024M=1G,各位想必都十分清楚了。


对于传统的计算机来说,1个bit是信息的最小单位。它要么是0,要么是1,对应于电路的开或关。假如一台计算机读入了10个bits的信息,那相当于说它读入了一个10位的2进制数(比方说1010101010),这个数的每一位都是一个确定的0或者1。这在人们看来,似乎是理所当然的。


但是,接下来就让我们进入神奇的量子世界。一个bit是信息流中的最小单位,这看起来正如一个量子!我们回忆一下走过的路上所见到的那些奇怪景象,量子论最叫人困惑的是什么呢?是不确定性。我们无法肯定地指出一个电子究竟在哪里,我们不知道它是通过了左缝还是右缝,我们不知道薛定谔的猫是死了还是活着。根据量子论的基本方程,所有的可能性都是线性叠加在一起的!电子同时通过了左和右两条缝,薛定谔的猫同时活着和死了。只有当实际观测它的时候,上帝才随机地掷一下骰子,告诉我们一个确定的结果,或者他老人家不掷骰子,而是把我们投影到两个不同的宇宙中去。


大家不要忘记,我们的电脑也是由微观的原子组成的,它当然也服从量子定律(事实上所有的机器肯定都是服从量子论的,只不过对于传统的机器来说,它们的工作原理并不主要建立在量子效应上)。假如我们的信息由一个个电子来传输,我们规定,当一个电子是“左旋”的时候,它代表了0,当它是“右旋”的时候,则代表1(通常我们会以“上”和“下”来表示自旋方向,不过可能有读者会对“上旋”感到困惑,我们换个称呼,这无所谓)。现在问题来了,当我们的电子到达时,它是处于量子叠加态的。这岂不是说,它同时代表了0和1?


这就对了,在我们的量子计算机里,一个bit不仅只有0或者1的可能性,它更可以表示一个0和1的叠加!一个“比特”可以同时记录0和1,我们把它称作一个“量子比特”(qubit)。假如我们的量子计算机读入了一个10bits的信息,所得到的就不仅仅是一个10位的二进制数了,事实上,因为每个bit都处在0和1的叠加态,我们的计算机所处理的是2^10个10位数的叠加!


换句话说,同样是读入10bits的信息,传统的计算机只能处理1个10位的二进制数,而如果是量子计算机,则可以同时处理2^10个这样的数!


利用量子演化来进行某种图灵机式的计算早在70年代和80年代初便由Bennett,Benioff等人进行了初步的讨论。到了1982年,那位极富传奇色彩的美国物理学家理查德•费因曼(Richard Feynman)注意到,当我们试图使用计算机来模拟某些物理过程,例如量子叠加的时候,计算量会随着模拟对象的增加而指数式地增长,以致使得传统的模拟很快变得不可能。费因曼并未因此感到气馁,相反,他敏锐地想到,也许我们的计算机可以使用实际的量子过程来模拟物理现象!如果说模拟一个“叠加”需要很大的计算量的话,为什么不用叠加本身去模拟它呢?每一个叠加都是一个不同的计算,当所有这些计算都最终完成之后,我们再对它进行某种幺正运算,把一个最终我们需要的答案投影到输出中去。费因曼猜想,这在理论上是可行的,而他的确猜对了!


1985年,我们那位在埃弗莱特的谆谆教导和多宇宙论的熏陶下成长起来的大卫•德义奇闪亮登场了。他仿照图灵当年走的老路子,成功地证明了,一台普适的量子计算机是可能的。所谓“普适机”(universal machine)的概念可能对大家有点陌生以及令人困惑,它可以回到图灵那里,其基本思想是,存在某种图灵机,把一段指令编成合适的编码对其输入,可以令这台机器模拟任何图灵机的行为。我无意在这里过于深入细节,因为那是相当费脑筋的事情,虽然其中的数学一点也不复杂。如果各位有兴趣深入探索的话可以参阅一些介绍图灵工作的文章(我个人还是比较推荐彭罗斯的《皇帝新脑》),在这里各位所需要了解的无非是:我们聪明睿智的德义奇先生证明了一件事,那就是我们理论上可以建造一种机器,它可以模拟任何特殊量子计算机的过程,从而使得一切形式的量子计算成为可能。传统的电脑处理信息流的时候用到的是所谓的“布尔逻辑门”(Boolean Logic Gate),比如AND,OR,NOT,XOR等等。在量子计算机中只需把它们换成相应的量子逻辑门即可。


说了那么多,一台量子计算机有什么好处呢?


德义奇证明,量子计算机无法实现超越算法的任务,也就是说,它无法比普通的图灵机做得更多。从某种确定的意义上来说,量子计算机也是一种图灵机。但和传统的机器不同,它的内态是不确定的,它同时可以执行多个指向下一阶段的操作。如果把传统的计算机称为决定性的图灵机(Deterministic Turing Machine, DTM),量子计算机则是非决定性的图灵机(NDTM)。德义奇同时证明,它将具有比传统的计算机大得多的效率。用术语来讲,执行同一任务时它所要求的复杂性(complexity)要低得多。理由是显而易见的,量子计算机执行的是一种并行计算,正如我们前面举的例子,当一个10bits的信息被处理时,量子计算机实际上操作了2^10个态!


在如今这个信息时代,网上交易和电子商务的浪潮正席卷全球,从政府至平民百姓,都越来越依赖于电脑和网络系统。与此同时,电子安全的问题也显得越来越严峻,谁都不想黑客们大摇大摆地破解你的密码,侵入你的系统篡改你的资料,然后把你银行里的存款提得精光,这就需要我们对私隐资料执行严格的加密保护。目前流行的加密算法不少,很多都是依赖于这样一个靠山,也即所谓的“大数不可分解性”。大家中学里都苦练过因式分解,也做过质因数分解的练习,比如把15这个数字分解成它的质因数的乘积,我们就会得到15=5×3这样一个唯一的答案。


问题是,分解15看起来很简单,但如果要分解一个很大很大的数,我们所遭遇到的困难就变得几乎不可克服了。比如,把10949769651859分解成它的质因数的乘积,我们该怎么做呢?糟糕的是,在解决这种问题上,我们还没有发现一种有效的算法。一种笨办法就是用所有已知的质数去一个一个地试,最后我们会发现10949769651859=4220851×2594209(数字取自德义奇的著作The Fabric of Reality),但这是异常低效的。更遗憾的是,随着数字的加大,这种方法所费的时间呈现出几何式的增长!每当它增加一位数,我们就要多费3倍多的时间来分解它,很快我们就会发现,就算计算时间超过宇宙的年龄,我们也无法完成这个任务。当然我们可以改进我们的算法,但目前所知最好的算法(我想应该是GNFS)所需的复杂性也只不过比指数性的增长稍好,仍未达到多项式的要求(所谓多项式,指的是当处理数字的位数n增大时,算法所费时间按照多项式的形式,也就是n^k的速度增长)。


所以,如果我们用一个大数来保护我们的秘密,只有当这个大数被成功分解时才会泄密,我们应当是可以感觉非常安全的。因为从上面的分析可以看出,想使用“暴力”方法,也就是穷举法来破解这样的密码几乎是不可能的。虽然我们的处理器速度每隔18个月就翻倍,但也远远追不上安全性的增长:只要给我们的大数增加一两位数,就可以保好几十年的平安。目前最流行的一些加密术,比如公钥的RSA算法正是建筑在这个基础之上。


但量子计算机实现的可能使得所有的这些算法在瞬间人人自危。量子计算机的并行机制使得它可以同时处理多个计算,这使得大数不再成为障碍!1994年,贝尔实验室的彼得•肖(Peter Shor)创造了一种利用量子计算机的算法,可以有效地分解大数(复杂性符合多项式!)。比如我们要分解一个250位的数字,如果用传统计算机的话,就算我们利用最有效的算法,把全世界所有的计算机都联网到一起联合工作,也要花上几百万年的漫长时间。但如果用量子计算机的话,只需几分钟!一台量子计算机在分解250位数的时候,同时处理了10^500个不同的计算!


更糟的事情接踵而来。在肖发明了他的算法之后,1996年贝尔实验室的另一位科学家洛弗•格鲁弗(Lov Grover)很快发现了另一种算法,可以有效地搜索未排序的数据库。如果我们想从一个有n个记录但未排序的数据库中找出一个特定的记录的话,大概只好靠随机地碰运气,平均试n/2次才会得到结果,但如果用格鲁弗的算法,复杂性则下降到根号n次。这使得另一种著名的非公钥系统加密算法,DES面临崩溃。现在几乎所有的人都开始关注量子计算,更多的量子算法肯定会接连不断地被创造出来,如果真的能够造出量子计算机,那么对于现在所有的加密算法,不管是RSA,DES,或者别的什么椭圆曲线,都可以看成是末日的来临。最可怕的是,因为量子并行运算内在的机制,即使我们不断增加密码的位数,也只不过给破解者增加很小的代价罢了,这些加密术实际上都破产了!


2001年,IBM的一个小组演示了肖的算法,他们利用7个量子比特把15分解成了3和5的乘积。当然,这只是非常初步的进展,我们还不知道,是否真的可以造出有实际价值的量子计算机,量子态的纠缠非常容易退相干,这使得我们面临着技术上的严重困难。虽然2002年,斯坦弗和日本的科学家声称,一台硅量子计算机是可以利用现在的技术实现的,2003年,马里兰大学的科学家们成功地实现了相距毫米的两个量子比特的互相纠缠,一切都在向好的方向发展,但也许量子计算机真正的运用还要过好几十年才会实现。这个项目是目前最为热门的话题之一,让我们且拭目以待。


就算强大的量子计算机真的问世了,电子安全的前景也并非一片黯淡,俗话说得好,上帝在这里关上了门,但又在别处开了一扇窗。量子论不但给我们提供了威力无比的计算破解能力,也让我们看到了另一种可能性:一种永无可能破解的加密方法。这是另一个炙手可热的话题:量子加密术(quantum cryptography)。如果篇幅允许,我们在史话的最后会简单描述一下这方面的情况。这种加密术之所以能够实现,是因为神奇的量子可以突破爱因斯坦的上帝所安排下的束缚——那个宿命般神秘的不等式。而这,也就是我们马上要去讨论的内容。


但是,在本节的最后,我们还是回到多宇宙解释上来。我们如何去解释量子计算机那神奇的计算能力呢?德义奇声称,唯一的可能是它利用了多个宇宙,把计算放在多个平行宇宙中同时进行,最后汇总那个结果。拿肖的算法来说,我们已经提到,当它分解一个250位数的时候,同时进行着10^500个计算。德义奇愤愤不平地请求那些不相信MWI的人解释这个事实:如果不是把计算同时放到10^500个宇宙中进行的话,它哪来的资源可以进行如此惊人的运算?他特别指出,整个宇宙也只不过包含大约10^80个粒子而已。但是,虽然把计算放在多个平行宇宙中进行是一种可能的说法(虽然听上去仍然古怪),其实MWI并不是唯一的解释。基本上,量子计算机所依赖的只是量子论的基本方程,而不是某个解释。它的模型是从数学上建筑起来的,和你如何去解释它无干。你可以把它想象成10^500个宇宙中的每一台计算机在进行着计算,但也完全可以按照哥本哈根解释,想象成未观测(输出结果)前,在这个宇宙中存在着10^500台叠加的计算机在同时干活!至于这是如何实现的,我们是没有权利去讨论的,正如我们不知道电子如何同时穿过了双缝,猫如何同时又死又活一样。这听起来不可思议,但在许多人看来,比起瞬间突然分裂出了10^500个宇宙,其古怪程度也半斤八两。正如柯文尼在《时间之箭》中说的那样,即使这样一种计算机造出来,也未必能证明多世界一定就比其它解释优越。关键是,我们还没有得到实实在在可以去判断的证据,也许我们还是应该去看看还有没有别的道路,它们都通向哪些更为奇特的方向。



我们终于可以从多世界这条道路上抽身而退,再好好反思一下量子论的意义。前面我们留下的那块“意识怪兽”的牌子还历历在目,而在多宇宙这里我们的境遇也不见得好多少,也许可以用德威特的原话,立一块“精神分裂”的牌子来警醒世人注意。在哥本哈根那里,我们时刻担心的是如何才能使波函数坍缩,而在多宇宙那里,问题变成了“我”在宇宙中究竟算是个什么东西。假如我们每时每刻都不停地被投影到无数的世界,那么究竟哪一个才算是真正的“我”呢?或者,“我”这个概念干脆就应该定义成由此刻开始,同时包含了将来那n条宇宙岔路里的所有“我”的一个集合?如果是这样的话,那么“量子永生”听起来就不那么荒诞了:在这个集合中“我”总在某条分支上活着嘛。假如你不认同,认为“我”只不过是某时某刻的一个存在,随着每一次量子测量而分裂成无数个新的不同的“我”,那么难道我们的精神只不过是一种瞬时的概念,它完全不具有连续性?生活在一个无时无刻不在分裂的宇宙中,无时无刻都有无穷个新的“我”的分身被制造出来,天知道我们为什么还会觉得时间是平滑而且连续的,天知道为什么我们的“自我意识”的连续性没有遭到割裂。


不管是哥本哈根还是多宇宙,其实都是在努力地试图解释量子世界中的这样一个奇妙性质:叠加性。正如我们已经在史话中反复为大家所揭示的那样,当没有观测前,古怪的量子精灵始终处在不确定的状态,必须描述为所有的可能性的叠加。电子既在这里又在那里,在实际观测之前并不像以前经典世界中我们不言而喻地假定的那样,有一个唯一确定的位置。当一个光子从A点运动到B点,它并不具有经典力学所默认的一条确定的轨迹。相反,它的轨迹是一团模糊,是所有可能的轨迹的总和!而且不单单是所有可能的空间轨迹,事实上,它是全部空间以及全部时间的路径的总和!换句话说,光子从A到B,是一个过去、现在、未来所有可能的路线的叠加。在此基础之上费因曼建立了他的“路径积分”(path integral)方法,用以计算量子体系在四维空间中的几率振幅。我们在史话的前面已经看到了海森堡的矩阵和薛定谔的波,费因曼的路径积分是第三种描述量子体系的手段。但同样可以证明,它和前两者是完全等价的,只不过是又一种不同的数学表达形式罢了。配合费因曼图,这种方法简单实用,而且非常巧妙。把它运用到原子体系中,我们会惊奇地发现在绝大部分路径上,作用量都互相抵消,只留下少数可能的“轨道”,而这正和观测相符!


我们必须承认,量子论在现实中是成功的,它能够完美地解释和说明观测到的现象。可是要承认叠加,不管是哥本哈根式的叠加还是多宇宙式的叠加,这和我们对于现实世界的常识始终有着巨大的冲突。我们还是不由地怀念那流金的古典时代,那时候“现实世界”仍然保留着高贵的客观性血统,它简单明确,符合常识,一个电子始终有着确定的位置和动量,不以我们的意志或者观测行为而转移,也不会莫名其妙地分裂,而只是一丝不苟地在一个优美的宇宙规则的统治下按照严格的因果律而运行。哦,这样的场景温馨而暖人心扉,简直就是物理学家们梦中的桃花源,难道我们真的无法再现这样的理想,回到那个令人怀念的时代了吗?


且慢,这里就有一条道路,打着一个大广告牌:回到经典。它甚至把爱因斯坦拉出来作为它的代言人:这条道路通向爱因斯坦的梦想。天哪,爱因斯坦的梦想,不就是那个古典客观,简洁明确,一切都由严格的因果性来主宰的世界吗?那里面既没有掷骰子的上帝,也没有多如牛毛的宇宙拷贝,这是多么教人心动的情景。我们还犹豫什么呢,赶快去看看吧!


时空倒转,我们先要回到1927年,回到布鲁塞尔的第五届索尔维会议,再回味一下那场决定了量子论兴起的大辩论。我们在史话的第八章已经描写了这次名留青史的会议的一些情景,我们还记得法国的那位贵族德布罗意在会上讲述了他的“导波”理论,但遭到了泡利的质疑。在第五届索尔维会议上,玻尔的互补原理还刚刚出台,粒子和波动还正打得不亦乐乎,德布罗意的“导波”正是试图解决这一矛盾的一个尝试。我们都还记得,德布罗意发现,每当一个粒子前进时,都伴随着一个波,这深刻地揭示了波粒二象性的难题。但德布罗意并不相信玻尔的互补原理,亦即电子同时又是粒子又是波的解释。德布罗意想象,电子始终是一个实实在在的粒子,但它的确受到时时伴随着它的那个波的影响,这个波就像盲人的导航犬,为它探测周围的道路的情况,指引它如何运动,也就是我们为什么把它称作“导波”的原因。德布罗意的理论里没有波恩统计解释的地位,它完全是确定和实在论的。量子效应表面上的随机性完全是由一些我们不可知的变量所造成的,换句话说,量子论是一个不完全的理论,它没有考虑到一些不可见的变量,所以才显得不可预测。假如把那些额外的变量考虑进去,整个系统是确定和可预测的,符合严格因果关系的。这样的理论称为“隐变量理论”(Hidden Variable Theory)。


德布罗意理论生不逢时,正遇上伟大的互补原理出台的那一刻,加上它本身的不成熟,于是遭到了众多的批评,而最终判处它死刑的是1932年的冯诺伊曼。我们也许还记得,冯诺伊曼在那一年为量子论打下了严密的数学基础,他证明了量子体系的一些奇特性质比如“无限后退”。然而在这些之外,他还顺便证明了一件事,那就是:任何隐变量理论都不可能对测量行为给出确定的预测。换句话说,隐变量理论试图把随机性从量子论中赶走的努力是不可能实现的,任何隐变量理论——不管它是什么样的——注定都要失败。


冯诺伊曼那华丽的天才倾倒每一个人,没有人对这位20世纪最伟大的数学家之一产生怀疑。隐变量理论那无助的努力似乎已经逃脱不了悲惨的下场,而爱因斯坦对于严格的因果性的信念似乎也注定要化为泡影。德布罗意接受这一现实,他在内心深处不像玻尔那样顽强而充满斗志,而是以一种贵族式的风度放弃了他的观点。整个3、40年代,哥本哈根解释一统天下,量子的不确定性精神深植在物理学的血液之中,众多的电子和光子化身为波函数神秘地在宇宙中弥漫,众星拱月般地烘托出那位伟大的智者——尼尔斯•玻尔的魔力来。


1969年诺贝尔物理奖得主盖尔曼后来调侃地说:“玻尔给整整一代的物理学家洗了脑,使他们相信,事情已经最终解决了。”


约翰•贝尔则气忿忿地说:“德布罗意在1927年就提出了他的理论。当时,以我现在看来是丢脸的一种方式,被物理学界一笑置之,因为他的论据没有被驳倒,只是被简单地践踏了。”


谁能想到,就连像冯诺伊曼这样的天才,也有阴沟里翻船的时候。他的证明不成立!冯诺伊曼关于隐函数理论无法对观测给出唯一确定的解的证明建立在5个前提假设上,在这5个假设中,前4个都是没有什么问题的,关键就在第5个那里。我们都知道,在量子力学里,对一个确定的系统进行观测,我们是无法得到一个确定的结果的,它按照随机性输出,每次的结果可能都不一样。但是我们可以按照公式计算出它的期望(平均)值。假如对于一个确定的态矢量Φ我们进行观测X,那么我们可以把它坍缩后的期望值写成。正如我们一再强调的那样,量子论是线性的,它可以叠加。如果我们进行了两次观测X,Y,它们的期望值也是线性的,即应该有关系:


=+


但是在隐函数理论中,我们认为系统光由态矢量Φ来描述是不完全的,它还具有不可见的隐藏函数,或者隐藏的态矢量H。把H考虑进去后,每次观测的结果就不再随机,而是唯一确定的。现在,冯诺伊曼假设:对于确定的系统来说,即使包含了隐函数H之后,它们也是可以叠加的。即有:


=+


这里的问题大大地有。对于前一个式子来说,我们讨论的是平均情况。也就是说,假如真的有隐函数H的话,那么我们单单考虑Φ时,它其实包含了所有的H的可能分布,得到的是关于H的平均值。但把具体的H考虑进去后,我们所说的就不是平均情况了!相反,考虑了H后,按照隐函数理论的精神,就无所谓期望值,而是每次都得到唯一的确定的结果。关键是,平均值可以相加,并不代表一个个单独的情况都能够相加!


我们这样打比方:假设我们扔骰子,骰子可以掷出1-6点,那么我们每扔一个骰子,平均得到的点数是。这是一个平均数,能够按线性叠加,也就是说,假如我们同时扔两粒骰子,得到的平均点数可以看成是两次扔一粒骰子所得到的平均数的和,也就是+=7点。再通俗一点,假设ABC三个人同时扔骰子,A一次扔两粒,B和C都一次扔一粒,那么从长远的平均情况来看,A得到的平均点数等于B和C之和。


但冯诺伊曼的假设就变味了。他其实是假定,任何一次我们同时扔两粒骰子,它必定等于两个人各扔一粒骰子的点数之和!也就是说只要三个人同时扔骰子,不管是哪一次,A得到的点数必定等于B加C。这可大大未必,当A掷出12点的时候,B和C很可能各只掷出1点。虽然从平均情况来看A的确等于B加C,但这并非意味着每回合都必须如此!


冯诺伊曼的证明建立在这样一个不牢靠的基础上,自然最终轰然崩溃。终结他的人是大卫•玻姆(D*id Bohm),当代最著名的量子力学专家之一。玻姆出生于宾夕法尼亚,他曾在爱因斯坦和奥本海默的手下学习(事实上,他是奥本海默在伯克利所收的最后一个研究生),爱因斯坦的理想也深深打动着玻姆,使他决意去追寻一个回到严格的因果律,恢复宇宙原有秩序的理论。1952年,玻姆复活了德布罗意的导波,成功地创立了一个完整的隐函数体系。全世界的物理学家都吃惊得说不出话来:冯诺伊曼不是已经把这种可能性彻底排除掉了吗?现在居然有人举出了一个反例!


奇怪的是,发现冯诺伊曼的错误并不需要太高的数学技巧和洞察能力,但它硬是在20年的时间里没有引起值得一提的注意。D*id Mermin挪揄道,真不知道它自发表以来是否有过任何专家或者学生真正研究过它。贝尔在访谈里毫不客气地说:“你可以这样引用我的话:冯诺伊曼的证明不仅是错误的,更是愚蠢的!”


看来我们在前进的路上仍然需要保持十二分的小心。


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饭后闲话:第五公设


冯诺伊曼栽在了他的第五个假设上,这似乎是冥冥中的天道循环,2000年前,伟大的欧几里德也曾经在他的第五个公设上小小地绊过一下。


无论怎样形容《几何原本》的伟大也不会显得过分夸张,它所奠定的公理化思想和演绎体系,直接孕育了现代科学,给它提供了最强大的力量。《几何原本》把几何学的所有命题推理都建筑在一开头给出的5个公理和5个公设上,用这些最基本的砖石建筑起了一幢高不可攀的大厦。


对于欧氏所给出的那5个公理和前4个公设(适用于几何学的他称为公设),人们都可以接受。但对于第五个公设,人们觉得有一些不太满意。这个假设原来的形式比较冗长,人们常把它改成一个等价的表述方式:“过已知直线外的一个特定的点,能够且只能够作一条直线与已知直线平行”。长期以来,人们对这个公设的正确性是不怀疑的,但觉得它似乎太复杂了,也许不应该把它当作一个公理,而能够从别的公理中把它推导出来。但2000年过去了,竟然没有一个数学家做到这一点(许多时候有人声称他证明了,但他们的证明都是错的)!


欧几里德本人显然也对这个公设感到不安,相比其他4个公设,第五公设简直复杂到家了(其他4个公设是:1,可以在任意两点间划一直线。2,可以延长一线段做一直线。3,圆心和半径决定一个圆。4,所有的直角都相等)。在《几何原本》中,他小心翼翼地尽量避免使用这一公设,直到没有办法的时候才不得不用它,比如在要证明“任意三角形的内角和为180度”的时候。


长期的失败使得人们不由地想,难道第五公设是不可证明的?如果我们用反证法,假设它不成立,那么假如我们导出矛盾,自然就可以反过来证明第五公设本身的正确性。但如果假设第五公设不成立,结果却导致不出矛盾呢?


俄国数学家罗巴切夫斯基(N. Lobatchevsky)正是这样做的。他假设第五公设不成立,也就是说,过直线外一点,可以作一条以上的直线与已知直线平行,并以此为基础进行推演。结果他得到了一系列稀奇古怪的结果,可是它们却是一个自成体系的系统,它们没有矛盾,在逻辑上是自洽的!一种不同于欧几里得的几何——非欧几何诞生了!


从不同于第五公设的其他假设出发,我们可以得到和欧几里得原来的版本稍有不同的一些定理。比如“三角形内角和等于180度”是从第五公设推出来的,假如过一点可以作一条以上的平行线,那么三角形的内角和便小于180度了。反之,要是过一点无法作已知直线的平行线,结果就是三角形的内角和大于180度。对于后者来说容易想象的就是球面,任何看上去平行的直线最终必定交汇。比方说在地球的赤道上所有的经线似乎都互相平行,但它们最终都在两极点相交。如果你在地球表面画一个三角形,它的内角和会超出180度,当然,你得画得足够大才测量得到。传说高斯曾经把三座山峰当作三角形的三个顶点来测量它们的内角和,但似乎没有发现什么,不过他要是在星系间做这样的测量,其结果就会很明显了:星系的质量造成了空间的明显弯曲。


罗巴切夫斯基假设过一点可以做一条以上的直线与已知直线平行,另一位数学家黎曼则假设无法作这样的平行线,创立了黎曼非欧几何。他把情况推广到n维中去,彻底奠定了非欧几何的基础。更重要的是,他的体系被运用到物理中去,并最终孕育了20世纪最杰出的科学巨构——广义相对论。



玻姆的隐变量理论是德布罗意导波的一个增强版,只不过他把所谓的“导波”换成了“量子势”(quantum potential)的概念。在他的描述中,电子或者光子始终是一个实实在在的粒子,不论我们是否观察它,它都具有确定的位置和动量。但是,一个电子除了具有通常的一些性质,比如电磁势之外,还具有所谓的“量子势”。这其实就是一种类似波动的东西,它按照薛定谔方程发展,在电子的周围扩散开去。但是,量子势所产生的效应和它的强度无关,而只和它的形状有关,这使它可以一直延伸到宇宙的尽头,而不发生衰减。


在玻姆理论里,我们必须把电子想象成这样一种东西:它本质上是一个经典的粒子,但以它为中心发散出一种势场,这种势弥漫在整个宇宙中,使它每时每刻都对周围的环境了如指掌。当一个电子向一个双缝进发时,它的量子势会在它到达之前便感应到双缝的存在,从而指导它按照标准的干涉模式行动。如果我们试图关闭一条狭缝,无处不在的量子势便会感应到这一变化,从而引导电子改变它的行为模式。特别地,如果你试图去测量一个电子的具体位置的话,你的测量仪器将首先与它的量子势发生作用,这将使电子本身发生微妙的变化,这种变化是不可预测的,因为主宰它们的是一些“隐变量”,你无法直接探测到它们。


玻姆用的数学手法十分高超,他的体系的确基本做到了传统的量子力学所能做到的一切!但是,让我们感到不舒服的是,这样一个隐变量理论始终似乎显得有些多余。量子力学从世纪初一路走来,诸位物理大师为它打造了金光闪闪的基本数学形式。它是如此漂亮而简洁,在实际中又是如此管用,以致于我们觉得除非绝对必要,似乎没有理由给它强迫加上笨重而丑陋的附加假设。玻姆的隐函数理论复杂繁琐又难以服众,他假设一个电子具有确定的轨迹,却又规定因为隐变量的扰动关系,我们绝对观察不到这样的轨迹!这无疑违反了奥卡姆剃刀原则:存在却绝对观测不到,这和不存在又有何分别呢?难道,我们为了这个世界的实在性,就非要放弃物理原理的优美、明晰和简洁吗?这连爱因斯坦本人都会反对,他对科学美有着比任何人都要深的向往和眷恋。事实上,爱因斯坦,甚至德布罗意生前都没有对玻姆的理论表示过积极的认同。


更不可原谅的是,玻姆在不惜一切代价地地恢复了世界的实在性和决定性之后,却放弃了另一样同等重要的东西:定域性(Locality)。定域性指的是,在某段时间里,所有的因果关系都必须维持在一个特定的区域内,而不能超越时空来瞬间地作用和传播。简单来说,就是指不能有超距作用的因果关系,任何信息都必须以光速这个上限而发送,这也就是相对论的精神!但是在玻姆那里,他的量子势可以瞬间把它的触角伸到宇宙的尽头,一旦在某地发生什么,其信息立刻便传达到每一个电子耳边。如果玻姆的理论成立的话,超光速的通讯在宇宙中简直就是无处不在,爱因斯坦不会容忍这一切的!


但是,玻姆他的确打破了因为冯诺伊曼的错误而造成的坚冰,至少给隐变量从荆棘中艰难地开辟出了一条道路。不管怎么样,隐变量理论在原则上毕竟是可能的,那么,我们是不是至少还保有一线希望,可以发展出一个完美的隐变量理论,使得我们在将来的某一天得以同时拥有一个确定、实在,而又拥有定域性的温暖世界呢?这样一个世界,不就是爱因斯坦的终极梦想吗?


1928年7月28日,距离量子论最精彩的华章——不确定性原理的谱写已经过去一年有余。在这一天,约翰•斯图尔特•贝尔(John Stewart Bell)出生在北爱尔兰的首府贝尔法斯特。小贝尔在孩提时代就表现出了过人的聪明才智,他在11岁上向母亲立志,要成为一名科学家。16岁时贝尔因为尚不够年龄入读大学,先到贝尔法斯特女王大学的实验室当了一年的实习工,然而他的才华已经深深感染了那里的教授和员工。一年后他顺理成章地进入女王大学攻读物理,虽然主修的是实验物理,但他同时也对理论物理表现出非凡的兴趣。特别是方兴未艾的量子论,它展现出的深刻的哲学内涵令贝尔相当沉迷。


贝尔在大学的时候,量子论大厦主体部分的建设已经尘埃落定,基本的理论框架已经由海森堡和薛定谔所打造完毕,而玻尔已经为它作出了哲学上最意味深长的诠释。20世纪物理史上最激动人心的那些年代已经逝去,没能参予其间当然是一件遗憾的事,但也许正是因为这样,人们得以稍稍冷静下来,不致于为了那伟大的事业而过于热血沸腾,身不由己地便拜倒在尼尔斯•玻尔那几乎不可抗拒的个人魔力之下。贝尔不无吃惊地发现,自己并不同意老师和教科书上对于量子论的正统解释。海森堡的不确定性原理——它听上去是如此具有主观的味道,实在不讨人喜欢。贝尔想要的是一个确定的,客观的物理理论,他把自己描述为一个爱因斯坦的忠实追随者。


毕业以后,贝尔先是进入英国原子能研究所(AERE)工作,后来转去了欧洲粒子中心(CERN)。他的主要工作集中在加速器和粒子物理领域方面,但他仍然保持着对量子物理的浓厚兴趣,在业余时间里密切关注着它的发展。1952年玻姆理论问世,这使贝尔感到相当兴奋。他为隐变量理论的想法所着迷,认为它恢复了实在论和决定论,无疑迈出了通向那个终极梦想的第一步。这个终极梦想,也就是我们一直提到的,使世界重新回到客观独立,优雅确定,严格遵守因果关系的轨道上来。贝尔觉得,隐变量理论正是爱因斯坦所要求的东西,可以完成对量子力学的完备化。然而这或许是贝尔的一厢情愿,因为极为讽刺的是,甚至爱因斯坦本人都不认同玻姆!


不管怎么样,贝尔准备仔细地考察一下,对于德布罗意和玻姆的想法是否能够有实际的反驳,也就是说,是否真如他们所宣称的那样,对于所有的量子现象我们都可以抛弃不确定性,而改用某种实在论来描述。1963年,贝尔在日内瓦遇到了约克教授,两人对此进行了深入的讨论,贝尔逐渐形成了他的想法。假如我们的宇宙真的是如爱因斯坦所梦想的那样,它应当具有怎样的性质呢?要探讨这一点,我们必须重拾起爱因斯坦昔日与玻尔论战时所提到的一个思想实验——EPR佯谬。


要是你已经忘记了EPR是个什么东西,可以先复习一下我们史话的8-4。我们所描述的实际上是经过玻姆简化过的EPR版本,不过它们在本质上是一样的。现在让我们重做EPR实验:一个母粒子分裂成向相反方向飞开去的两个小粒子A和B,它们理论上具有相反的自旋方向,但在没有观察之前,照量子派的讲法,它们的自旋是处在不确定的叠加态中的,而爱因斯坦则坚持,从分离的那一刻起,A和B的状态就都是确定了的。


我们用一个矢量来表示自旋方向,现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分别到来(比方说,甲在人马座的方向,乙在双子座的方向)。在某个按照宇宙标准时间所约好了的关键时刻(比方说,宇宙历767年8月12日9点整,听起来怎么像银英传,呵呵),两人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么,正如我们已经讨论过的,因为要保持总体上的守恒,这两个自旋必定相反,不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上测量到A的自旋为正(+),那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负(-)!


换句话说,A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样,当A是+的时候B必定是-,它们的合作率是100%!在统计学上,拿稍微正式一点的术语来说,(A+,B-)的相关性(correlation)是100%,也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概念,它是表示合作程度的一个变量,假如A和B每次都合作,比如A是+时B总是-,那么相关性就达到最大值1,反过来,假如B每次都不和A合作,每当A是+是B偏偏也非要是+,那么(A+,B-)的相关率就达到最小值-1。当然这时候从另一个角度看,(A+,B+)的相关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗,它的取值和A毫无关系,显得完全随机,那么B就和A并不相关,相关性是0。


在EPR里,不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定,最后的结果是肯定的:在同一个方向上要么是(A+,B-),要么是(A-,B+),相关性是1。但是,这是在同一方向上,假设在不同方向上呢?假设甲沿着x轴方向测量A的自旋,乙沿着y轴方向测量B,其结果的相关率会是如何呢?冥冥中一丝第六感告诉我们,决定命运的时刻就要到来了。


实际上我们生活在一个3维空间,可以在3个方向上进行观测,我们把这3个方向假设为x,y,z。它们并不一定需要互相垂直,任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的方向无非是正负两种可能,那么在3个方向上无非总共是8种可能(把每个方向想像成一根爻,那么组合结果无非是8个卦)。


x y z


+ + +


+ + -


+ - +


+ - -


- + +


- + -


- - +


- - -


对于A来说有8种可能,那么对于A和B总体来说呢?显然也是8种可能,因为我们一旦观测了A,B也就确定了。如果A是(+,+,-),那么因为要守恒,B一定是(-,-,+)。现在让我们假设量子论是错误的,A和B的观测结果在分离时便一早注定,我们无法预测,只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系,我们假设这个隐变量是H,它可以取值1-8,分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设,对应于每一种可能性,其出现的概率分别是N1,N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表:


Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率


+ + + - - - N1


+ + - - - + N2


+ - + - + - N3


+ - - - + + N4


- + + + - - N5


- + - + - + N6


- - + + + - N7


- - - + + + N8


上面的每一行都表示一种可能出现的结果,比如第一行就表示甲观察到A在x,y,z三个方向上的自旋都为+,而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为-,这种结果出现的可能性是N1。因为观测结果8者必居其一,所以N1+N2+…+N8=1,这个各位都可以理解吧?


现在让我们运用一点小学数学的水平,来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向,在这个方向上,(Ax+,Bx-)的相关性是多少呢?我们需要这样做:当一个记录符合两种情况之一:当在x方向上A为+而B同时为-,或者A不为+而B也同时不为-,如果这样,它便符合我们的要求,标志着对(Ax+,Bx-)的合作态度,于是我们就加上相应的概率。相反,如果在x上A为+而B也同时为+,或者A为-而B也为-,这是对(Ax+,Bx-)组合的一种破坏和抵触,我们必须减去相应的概率。


从上表可以看出,前4种可能都是Ax为+而Bx同时为-,后4种可能都是Ax不为+而Bx也不为-,所以8行都符合我们的条件,全是正号。我们的结果是N1+N2+…+N8=1!所以(Ax+,Bx-)的相关是1,这毫不奇怪,我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我们要计算(Ax+,Bx+)的相关,那么8行就全不符合条件,全是负号,我们的结果是-N1-N2-…-N8=-1。


接下来我们要走得远一点,A在x方向上为+,而B在y方向上为+,这两个观测结果的相关性是多少呢?现在是两个不同的方向,不过计算原则是一样的:要是一个记录符合Ax为+以及By为+,或者Ax不为+以及By也不为+时,我们就加上相应的概率,反之就减去。让我们仔细地考察上表,最后得到的结果应该是这样的,用Pxy来表示:


Pxy=-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8


嗯,蛮容易的嘛,我们再来算算Pxz,也就是Ax为+同时Bz为+的相关:


Pxz=-N1+N2-N3+N4+N5-N6+N7-N8


再来,这次是Pzy,也就是Az为+且By为+:


Pzy=-N1+N2+N3-N4-N5+N6+N7-N8


好了,差不多了,现在我们把玩一下我们的计算结果,把Pxz减去Pzy再取绝对值:


|Pxz-Pzy|=|-2N3+2N4+2N5-2N6|=2 |N3+N4-N5-N6|


这里需要各位努力一下,超越小学数学的水平,回忆一下初中的知识。关于绝对值,我们有关系式|x-y|≤|x|+|y|,所以套用到上面的式子里,我们有:


|Pxz-Pzy|=2 |N3+N4-N5-N6|≤2(|N3+N4|+|N5+N6|)


因为所有的概率都不为负数,所以2(|N3+N4|+|N5+N6|)=2(N3+N4+N5+N6)。最后,我们还记得N1+N2+...+N8=1,所以我们可以从上式中凑一个1出来:


2(N3+N4+N5+N6)=1+(-N1-N2+N3+N4+N5+N6-N7-N8)


看看我们前面的计算,后面括号里的一大串不正是Pxy吗?所以我们得到最终的结果:


|Pxz-Pzy|≤1+Pxy


恭喜你,你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的,就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”,它即将对我们这个宇宙的终极命运作出最后的判决。


(我们的证明当然是简化了的,隐变量不一定是离散的,而可以定义为区间λ上的一个连续函数。即使如此,只要稍懂一点积分知识也不难推出贝尔不等式来,各位有兴趣的可以动手一试。)

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